第二章 数据的表示与运算

2.1 数制与编码 ⭐

2.1.1 进位计数制

2.1.2 进制转换 ⭐

十进制 → 其他进制：除基取余法

125 ÷ 2 = 62 ... 1  (余数)
 62 ÷ 2 = 31 ... 0
 31 ÷ 2 = 15 ... 1
 15 ÷ 2 =  7 ... 1
  7 ÷ 2 =  3 ... 1
  3 ÷ 2 =  1 ... 1
  1 ÷ 2 =  0 ... 1

从下往上读取：125(D) = 1111101(B)

其他进制 → 十进制：按权展开求和

10110110(B) = 1×2^7 + 0×2^6 + 1×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0
            = 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0
            = 182(D)

二进制 ↔ 八进制：三位一组

二进制 → 八进制：从小数点开始向左/右每3位一分
101 101 110 (B) = 5 5 6 (O)

八进制 → 二进制：每位用3位二进制表示
726(O) = 111 010 110 (B)

二进制 ↔ 十六进制：四位一组

二进制 → 十六进制：从小数点开始向左/右每4位一分
1010 1101 0110 (B) = A D 6 (H)

十六进制 → 二进制：每位用4位二进制表示
3F9(H) = 0011 1111 1001 (B)

2.1.3 BCD码

BCD（Binary-Coded Decimal）：用二进制表示的十进制数

2.1.4 ASCII码

• 7位编码，共128个字符
• 包括：26个大写字母、26个小写字母、10个数字、33个控制字符
• 通常最高位为0（扩展ASCII为8位）

2.1.5 汉字编码

2.2 定点数的表示 ⭐⭐

2.2.1 定点与浮点

• 定点整数：小数点固定在最低位之后
• 定点小数：小数点固定在符号位之后
• 浮点数：小数点位置可变（由阶码决定）

2.2.2 原码

定义：最高位为符号位，0表示正，1表示负；数值部分用真值的绝对值表示。

例：+45 → 原码 = 00101101
    -45 → 原码 = 10101101

特点： - 0有两种表示：+0 = 00000000，-0 = 10000000 - 运算复杂（需判断符号位） - 8位表示范围：-(2^7-1) ~ +(2^7-1) = -127 ~ +127

2.2.3 反码

定义： - 正数：反码 = 原码 - 负数：符号位不变，数值位按位取反

例：+45 → 原码 = 00101101 → 反码 = 00101101
    -45 → 原码 = 10101101 → 反码 = 11010010

特点： - 0有两种表示：+0 = 00000000，-0 = 11111111 - 8位表示范围：-127 ~ +127

2.2.4 补码 ⭐⭐

定义： - 正数：补码 = 原码 - 负数：补码 = 反码 + 1

例：+45 → 原码 = 00101101 → 反码 = 00101101 → 补码 = 00101101
    -45 → 原码 = 10101101 → 反码 = 11010010 → 补码 = 11010011

特点： - 0只有唯一表示：00000000 - 符号位可以参与运算 - 减法可以变为加法（模运算） - 8位表示范围：-128 ~ +127（多表示一个数：-128 = 10000000）

2.2.5 三种码制对比

2.2.6 补码的技巧

负数补码快速转换：

补码 → 原码：再取一次补码

8位补码范围记忆： - 最大正数：01111111 = +127 - 最小负数：10000000 = -128 - 全部范围：-2^7 ~ +2^7-1

2.3 定点运算 ⭐

2.3.1 补码加减运算 ⭐⭐

公式：

[A + B]补 = [A]补 + [B]补
[A - B]补 = [A]补 + [-B]补

注意：运算结果如果产生溢出（超出表示范围），结果错误！

2.3.2 溢出判断 ⭐

条件：两个同号数相加，结果异号

判断方法：

溢出 = Cn ⊕ Cn-1
其中Cn为最高位进位，Cn-1为次高位进位

2.3.3 补码运算例题 ⭐⭐

例题1：用8位补码计算 52 - 37

52 = 00110100
-37 = 11011011 (补码)

  00110100
+ 11011011
----------
 100001111

溢出位丢弃，结果 = 00001111 = 15 ✓

例题2：用8位补码计算 89 + 45

89 = 01011001
45 = 00101101

  01011001
+ 00101101
----------
  10000110

结果 = 10000110 = -122 （错误！应为134，已溢出）

例题3：判断是否溢出：67 + 78

67 = 01000011
78 = 01001110

  01000011
+ 01001110
----------
  10010001

结果为10010001 = -111

两个正数相加得到负数，**溢出**！

2.3.4 算术移位

算术左移：若不溢出，等价于乘2 算术右移：等价于除2（取整）

2.4 浮点数的表示 ⭐⭐

2.4.1 浮点数格式

N = M × R^E

N：数值
M：尾数（可正可负）
R：基数（通常为2）
E：阶码（指数）

2.4.2 IEEE 754标准（重点！）

32位单精度格式

公式

真值 = (-1)^S × 1.M × 2^(E-127)

特殊情况

规格化浮点数特点

• 尾数最高位隐含为1
• 范围：约 ±1.18×10^-38 ~ ±3.4×10^38
• 精度：约7位十进制数

2.4.3 IEEE 754例题 ⭐⭐

例题1：将 -8.25 表示为IEEE 754单精度

1. 转二进制：-8.25 = -1000.01
2. 规格化：-1.00001 × 2^3
3. 确定各字段：
   S = 1
   E = 3 + 127 = 130 = 10000010
   M = 00001（只取小数部分，前面的1隐藏）
4. 结果：1 10000010 00001000000000000000000

例题2：求 1 10000010 00001000000000000000000 的真值

1. S = 1（负数）
2. E = 10000010 = 130
3. M = 00001000000000000000000
4. 真值 = (-1)^1 × 1.00001 × 2^(130-127)
        = -1.00001 × 2^3
        = -1000.01
        = -8.25

例题3：求 0 01111111 00000000000000000000000 的真值

1. S = 0（正数）
2. E = 01111111 = 127
3. 真值 = (-1)^0 × 1.0 × 2^(127-127)
        = 1.0 × 2^0
        = 1.0

2.4.4 64位双精度格式

2.5 算术逻辑运算

2.5.1 算术运算

2.5.2 逻辑运算

运算规则：

与(AND)：  0∧0=0, 0∧1=0, 1∧0=0, 1∧1=1
或(OR)：   0∨0=0, 0∨1=1, 1∨0=1, 1∨1=1
异或(XOR)：0⊕0=0, 0⊕1=1, 1⊕0=1, 1⊕1=0
非(NOT)：  ~0=1, ~1=0

2.5.3 移位运算

2.6 ALU的实现

2.6.1 ALU功能

ALU（Arithmetic Logic Unit）：算术逻辑单元

• 执行算术运算：加、减、乘、除
• 执行逻辑运算：AND、OR、XOR、NOT
• 产生标志位：ZF、SF、OF、CF等

2.6.2 ALU结构

         ┌─────────────────────┐
         │        ALU         │
         │                     │
输入A ──►│                 ┌──► F (结果)
         │              ┌──┐│
输入B ──►│              │  ▼│
         │           ┌──┴─┴──┐│
         │           │ 运算逻辑 ││
ALUop ──►│           └───────┘│
         │                 ▲  │
         │                 └──┘│
         │              标志位  │
         └─────────────────────┘

A, B：操作数输入
ALUop：操作控制信号（决定做什么运算）
F：运算结果

章节练习题

一、选择题

1. 下列进制转换中，正确的是（ ） A. 125(D) = 1111101(B) B. 125(D) = 1111100(B) C. 125(D) = 1111111(B) D. 125(D) = 11111011(B)

2. 8位补码表示的范围是（ ） A. -127 ~ +127 B. -128 ~ +127 C. -128 ~ +128 D. -127 ~ +128

3. 下列关于补码的说法，正确的是（ ） A. 0有两种表示 B. 符号位不能参与运算 C. 减法不能变为加法 D. 正数补码不等于原码

4. IEEE 754单精度格式中，阶码的偏置量为（ ） A. 127 B. 128 C. 1023 D. 2047

5. 两个正数相加发生溢出，则（ ） A. 结果为正 B. 结果为负 C. 结果为0 D. 结果可能正可能负

二、填空题

1. 二进制数10110110转换为十进制为______。

2. 8位原码表示中，-0的表示为______。

3. 补码的优点之一是0的表示______。

4. IEEE 754中，规格化浮点数的尾数最高位隐含为______。

5. 定点数表示中，小数点固定在______位之后的是定点小数。

三、计算题

1. 将十进制数 169 转换为二进制、八进制、十六进制。

2. 用8位补码计算：-67 - 45

3. 判断下列补码运算是否溢出： (a) 67 + 45 (b) -89 + (-67)

4. 将 -0.625 表示为IEEE 754单精度格式。

5. 求 IEEE 754 表示 1 10000001 10100000000000000000000 的真值。

四、简答题

1. 简述原码、反码、补码的区别。

2. 为什么计算机中采用补码来表示有符号数？

3. 简述IEEE 754单精度浮点数的格式。

参考答案

选择题

1. A 2. B 3. A（错！C正确：0表示唯一）→ 答案应为A
2. A 5. B

填空题

1. 182
2. 10000000
3. 唯一
4. 1
5. 符号位

计算题

第1题：

169 ÷ 2 = 84 ... 1
 84 ÷ 2 = 42 ... 0
 42 ÷ 2 = 21 ... 0
 21 ÷ 2 = 10 ... 1
 10 ÷ 2 =  5 ... 0
  5 ÷ 2 =  2 ... 1
  2 ÷ 2 =  1 ... 0
  1 ÷ 2 =  0 ... 1

169(D) = 10101001(B) = 251(O) = A9(H)

第2题：

-67 补码 = 10111101
-45 补码 = 11010011

  10111101
+ 11010011
----------
 110001000

结果 = 01001000 = +72

无溢出（两个负数相加结果为负）
正确结果应该是 -112，已溢出！

第3题：

(a) 67 + 45：
    01000011 + 00101101 = 01110000 = +112
    两正数相加结果为正，无溢出

(b) -89 + (-67)：
    -89 补码 = 10100111
    -67 补码 = 10111101
    相加结果 = 01100100 = +100
    两负数相加结果为正，溢出！

第4题：

-0.625 = -0.101(B)
规格化：-1.01 × 2^(-1)

S = 1
E = -1 + 127 = 126 = 01111110
M = 01000000000000000000000

结果：1 01111110 01000000000000000000000

第5题：

S = 1（负数）
E = 10000001 = 129
M = 10100000000000000000000

真值 = (-1)^1 × 1.101 × 2^(129-127)
     = -1.101 × 2^2
     = -1.101 × 4
     = -110.1
     = -6.5