函数依赖（Functional Dependency, FD）详解

函数依赖是数据库规范化理论的核心概念，用于描述关系中属性之间的依赖关系，直接影响数据库设计（如范式分解）。以下是系统总结：

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1. 定义

• 函数依赖：若在关系 ( R ) 中，属性集 ( X ) 的值能唯一确定属性集 ( Y ) 的值，则称 ( Y ) 函数依赖于 ( X )，记作 ( X \to Y )。
  • 形式化表述：对 ( R ) 中任意两个元组 ( t_1 ) 和 ( t_2 )，若 ( t_1[X] = t_2[X] )，则必有 ( t_1[Y] = t_2[Y] )。

示例

• 在学生表 ( R(\underline{学号}, 姓名, 系名) ) 中：
  • ( 学号 \to 姓名 )（学号唯一决定姓名）
  • ( 学号 \to 系名 )（学号唯一决定所属系）

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2. 分类

(1) 平凡 vs 非平凡函数依赖

• 平凡函数依赖：( X \to Y ) 且 ( Y \subseteq X )。
  • 例如：( (学号, 姓名) \to 学号 )（必然成立，无实际意义）。
• 非平凡函数依赖：( X \to Y ) 且 ( Y \not\subseteq X )。
  • 例如：( 学号 \to 系名 )（有意义，需重点分析）。

(2) 完全 vs 部分函数依赖

• 完全函数依赖：( X \to Y )，且 ( Y ) 不依赖于 ( X ) 的任何真子集。
  • 例如：( (学号, 课程号) \to 成绩 )（成绩由学号和课程号共同决定，缺一不可）。
• 部分函数依赖：( X \to Y )，但存在 ( X ) 的真子集 ( X’ ) 使得 ( X’ \to Y )。
  • 例如：( (学号, 课程号) \to 姓名 )（若 ( 学号 \to 姓名 ) 已成立，则姓名部分依赖于复合键）。

(3) 传递函数依赖

• 若 ( X \to Y )、( Y \to Z )，且 ( Y \not\to X )（( Y ) 不是超码），则称 ( Z ) 传递依赖于 ( X )。
  • 例如：( 学号 \to 系名 )、( 系名 \to 系主任 )，则 ( 学号 \to 系主任 ) 是传递依赖。

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3. 函数依赖与键的关系

• 候选码：若 ( K ) 是关系 ( R ) 的候选码，则 ( K \to R )（即 ( K ) 可决定所有属性）。
• 主属性：包含在任一候选码中的属性。
• 非主属性：不包含在任何候选码中的属性。

示例

• 关系 ( R(\underline{学号}, 姓名, 系名, 系主任) )：
  • 候选码：( {学号} )（假设学号唯一）。
  • 函数依赖：
    • ( 学号 \to 姓名 )
    • ( 学号 \to 系名 )
    • ( 系名 \to 系主任 )（传递依赖）

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4. 函数依赖的公理系统（Armstrong公理）

用于推导隐含的函数依赖：

1. 自反律：若 ( Y \subseteq X )，则 ( X \to Y )。
2. 增广律：若 ( X \to Y )，则 ( XZ \to YZ )。
3. 传递律：若 ( X \to Y ) 且 ( Y \to Z )，则 ( X \to Z )。

推论：

• 合并律：若 ( X \to Y ) 且 ( X \to Z )，则 ( X \to YZ )。
• 分解律：若 ( X \to YZ )，则 ( X \to Y ) 且 ( X \to Z )。

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5. 函数依赖的应用

(1) 数据库规范化

• 1NF：属性不可再分。
• 2NF：消除非主属性对候选码的部分函数依赖。
• 3NF：消除非主属性对候选码的传递函数依赖。
• BCNF：消除主属性对候选码的传递依赖。

(2) 数据冗余与异常

• 冗余：部分依赖和传递依赖会导致数据重复存储。
• 异常：插入、删除、更新时可能引发不一致。

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6. 示例分析

关系 ( R(学号, 课程号, 姓名, 系名, 成绩) )

• 函数依赖：
  • ( (学号, 课程号) \to 成绩 )（完全依赖）
  • ( 学号 \to 姓名 )、( 学号 \to 系名 )（部分依赖）
  • ( 系名 \to 系主任 )（传递依赖）
• 问题：
  • 部分依赖导致数据冗余（同一学生的姓名、系名重复存储）。
  • 传递依赖导致更新异常（修改系名需同步所有相关元组）。
• 解决方案：
  • 分解为：
    1. ( R1(\underline{学号}, 姓名, 系名) )
    2. ( R2(\underline{学号}, \underline{课程号}, 成绩) )
    3. ( R3(\underline{系名}, 系主任) )

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7. 总结

理解函数依赖是设计高效、无冗余数据库的关键，尤其在规范化过程中需逐步消除部分和传递依赖。