一、集合基本运算（定义与符号）
| 运算 | 符号 | 定义 | 示例（设全集 ( U = {1,2,3,4} ), ( A = {1,2}, B = {2,3} )） |
|---|---|---|---|
| 并集 | ( A ∪ B ) | ({x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B}) | ( A ∪ B = {1,2,3} ) |
| 交集 | ( A ∩ B ) | ({x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B}) | ( A ∩ B = {2} ) |
| 差集 | ( A - B ) | ({x ∣ x ∈ A 且 x ∉ B}) | ( A - B = {1} ) |
| 补集 | ( A^c ) | ({x ∈ U ∣ x ∉ A}) | ( A^c = {3,4} ) |
| 对称差 | ( A ⊕ B ) | ((A - B) ∪ (B - A)) | ( A ⊕ B = {1,3} ) |
二、核心集合恒等式（⭐ 必背！）
| 恒等式名称 | 公式 |
|---|---|
| 幂等律 | ( A ∪ A = A ) ( A ∩ A = A ) |
| 交换律 | ( A ∪ B = B ∪ A ) ( A ∩ B = B ∩ A ) |
| 结合律 | ((A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)) ((A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)) |
| 分配律 | ( A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ) ( A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ) |
| 德·摩根律 | ((A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c) ((A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c) |
| 吸收律 | ( A ∪ (A ∩ B) = A ) ( A ∩ (A ∪ B) = A ) |
| 补集律 | ( A ∪ A^c = U ) ( A ∩ A^c = ∅ ) |
| 零律 | ( A ∪ U = U ) ( A ∩ ∅ = ∅ ) |
| 同一律 | ( A ∪ ∅ = A ) ( A ∩ U = A ) |
三、恒等式证明方法（附步骤模板）
方法1：元素法（最基础！）
步骤：
- 任取 ( x ∈ ) 左式
- 证明 ( x ∈ ) 右式
- 再任取 ( x ∈ ) 右式
- 证明 ( x ∈ ) 左式
- 结论：左式 = 右式
例：证明 ( A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) )
- 证明左⊆右：
- 若 ( x ∈ A ∩ (B ∪ C) )，则 ( x ∈ A ) 且 ( x ∈ B ∪ C ) → ( x ∈ B ) 或 ( x ∈ C )：
- 若 ( x ∈ B )，则 ( x ∈ A ∩ B ) → ( x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) )
- 若 ( x ∈ C )，则 ( x ∈ A ∩ C ) → ( x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) )
- 证明右⊆左：
- 若 ( x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) )，则：
- 若 ( x ∈ A ∩ B )，则 ( x ∈ A ) 且 ( x ∈ B ) → ( x ∈ B ∪ C ) → ( x ∈ A ∩ (B ∪ C) )
- 若 ( x ∈ A ∩ C )，同理可得。
∴ 等式成立。
方法2：集合包含法（简化版）
步骤：
- 证明 左式 ⊆ 右式
- 证明 右式 ⊆ 左式
例：证明 ( (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c )
- 证明 ⊆：
若 ( x ∈ (A ∪ B)^c )，则 ( x ∉ A ∪ B ) → ( x ∉ A ) 且 ( x ∉ B ) → ( x ∈ A^c ) 且 ( x ∈ B^c ) → ( x ∈ A^c ∩ B^c ) - 证明 ⊇：
若 ( x ∈ A^c ∩ B^c )，则 ( x ∉ A ) 且 ( x ∉ B ) → ( x ∉ A ∪ B ) → ( x ∈ (A ∪ B)^c )
∴ 等式成立。
方法3：公式推导法（利用已知恒等式）
例：证明 ( A - B = A ∩ B^c )
推导：
A - B = {x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B} = {x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B^c} = A ∩ B^c
四、易混淆点对比表
| 概念 | 混淆点 | 辨析 |
|---|---|---|
| 分配律 | ( A ∪ (B ∩ C) ) vs ( A ∩ (B ∪ C) ) | 并和交的分配方向相反！ ✅ ( A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ) ✅ ( A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ) |
| 德·摩根律 | 补集对并/交的分配 | 补集“拆括号”时，并变交，交变并！ |
| 差集 vs 补集 | ( A - B ) vs ( A^c ) | ( A - B ) 依赖 ( B )，而 ( A^c ) 依赖全集 ( U ) |
五、高频考题解析
题型1：化简复杂表达式
题目：化简 ( (A ∩ B^c) ∪ (A ∩ B) )
解：
(A ∩ B^c) ∪ (A ∩ B) = A ∩ (B^c ∪ B) = A ∩ U = A (分配律 + 补集律)
题型2：证明恒等式（含对称差）
题目：证明 ( A ⊕ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) )
证明：
A ⊕ B = (A - B) ∪ (B - A)
= (A ∩ B^c) ∪ (B ∩ A^c)
(A ∪ B) - (A ∩ B) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)^c
= (A ∪ B) ∩ (A^c ∪ B^c) (德·摩根律)
= [(A ∪ B) ∩ A^c] ∪ [(A ∪ B) ∩ B^c] (分配律)
= (B ∩ A^c) ∪ (A ∩ B^c) (吸收律)
= A ⊕ B
六、学习技巧
- 画维恩图辅助：
- 用重叠区域可视化 ( A ∩ B )，用阴影表示补集 ( A^c )（例：德·摩根律验证）。
- 背熟“分配律”和“德·摩根律”：
- 80% 的证明题基于这两个定律的变形。
- 分步拆解嵌套运算：
- 遇到 ( (A - B) ∪ (C ∩ D)^c ) 时，先内层后外层。
- 构造特殊集合验证：
- 取 ( A = {1}, B = {2}, U = {1,2,3} ) 代入恒等式快速检验。
💡 关键提醒：证明时必须注明每步依据（如“由德·摩根律”），避免跳步！
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