等值演算

注意：以下公式中，T代表永真式（True），F代表矛盾式（False），P、Q、R代表任意命题公式。

1. 双重否定律（Double Negation）:
   ¬¬P ⇔ P

2. 幂等律（Idempotent Laws）:
   P ∨ P ⇔ P
   P ∧ P ⇔ P

3. 交换律（Commutative Laws）:
   P ∨ Q ⇔ Q ∨ P
   P ∧ Q ⇔ Q ∧ P

4. 结合律（Associative Laws）:
   (P ∨ Q) ∨ R ⇔ P ∨ (Q ∨ R)
   (P ∧ Q) ∧ R ⇔ P ∧ (Q ∧ R)

5. 分配律（Distributive Laws）:
   P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
   P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

6. 德·摩根律（De Morgan’s Laws）:
   ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q
   ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q

7. 吸收律（Absorption Laws）:
   P ∨ (P ∧ Q) ⇔ P
   P ∧ (P ∨ Q) ⇔ P

8. 蕴含等值式（Implication Equivalence）:
   P → Q ⇔ ¬P ∨ Q

9. 等价等值式（Biconditional Equivalence）:
   P ↔ Q ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P)

10. 假言易位（Contraposition）:
    P → Q ⇔ ¬Q → ¬P

11. 归谬论（Reductio ad absurdum）:
    (P → Q) ∧ (P → ¬Q) ⇔ ¬P

12. 输出律（Exportation）:
    (P ∧ Q) → R ⇔ P → (Q → R)

13. 恒等律（Identity Laws）:
    P ∨ F ⇔ P
    P ∧ T ⇔ P

14. 支配律（Domination Laws）:
    P ∨ T ⇔ T
    P ∧ F ⇔ F

15. 否定律（Negation Laws）:
    P ∨ ¬P ⇔ T (排中律)
    P ∧ ¬P ⇔ F (矛盾律)

16. 等价否定等值式:
    ¬(P ↔ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q) [也可以表示为 P ↔ ¬Q]

17. 其他常用等值式:
    P → (Q → R) ⇔ (P ∧ Q) → R （与输出律类似）
    (P ↔ Q) ⇔ (¬P ↔ ¬Q) （等价式的否定形式）

18. 条件式的分配律:
    P → (Q → R) ⇔ (P → Q) → (P → R) [注意：这个不是分配律的通常形式，但有时有用]

19. 结合律和分配律的推广（用于多个变元）:
    由于结合律，多个合取或析取可以任意结合，因此可以写成：P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn，而不加括号。

注意：以上等值式都可以用真值表来证明。

另外，还有一些常用的等值式，如：
P → Q ⇔ ¬Q → ¬P
P → P ⇔ T
P → T ⇔ T
F → P ⇔ T
T → P ⇔ P
P → F ⇔ ¬P

在等值演算中，我们利用这些等值式进行替换，从而化简命题公式或证明两个公式等价。